MATEMATIKA MAKE US HAPPY

REMED MATEMATIKA

1. Persamaan grafik fungsi kuadrat yang mempunyai titik balik minimum (1, 2) dan melalui titik (2, 3) adalah...
Diketahui titik balik (xp, yp) = (1, 2)
dan melalui titik (x, y) = (2, 3)
y = a(x − xp)2 + yp
3 = a(2 − 1)2 + 2
3 = a + 2
⇒ a = 1
y = 1 (x − 1)2 + 2
y = x2 − 2x + 1 + 2
y = x2 − 2x + 3

2. Jika m > 0 dan grafik f(x) = x2 − mx + 5 menyinggung garis y = 2x + 1, maka nilai m = ...
Misalkan :
y1 = x2 − mx + 5
y2 = 2x + 1
y1 = y2
x2 − mx + 5 = 2x + 1
x2 − mx − 2x + 5 − 1 = 0
x2 − (m + 2)x + 4 = 0

a = 1
b = −(m + 2)
c = 4

Parabola menyinggung garis ⇒ D = 0
b2 − 4ac = 0
(−(m + 2))2 − 4 (1) (4) = 0
m2 + 4m + 4 − 16 = 0
m2 + 4m − 12 = 0
(m + 6)(m − 2) = 0
m = −6 atau m = 2
Karena m > 0, maka m = 2

3. Grafik fungsi kuadrat f(x) = x2 + bx + 4 menyinggung garis y = 3x + 4. Nilai b yang memenuhi adalah...
Pembahasan :
Misalkan :
y1 = x2 + bx + 4
y2 = 3x + 4

y1 = y2
x2 + bx + 4 = 3x + 4
x2 + bx − 3x = 0
x2 + (b − 3)x = 0

a = 1
b = b − 3
c = 0

Parabola menyinggung garis ⇒ D = 0
b2 − 4ac = 0
(b − 3)2 − 4(1)(0) = 0
(b − 3)2 = 0
b = 3

4. Grafik y = px2 + (p + 2)x − p + 4 memotong sumbu X di dua titik. Batas-batas nilai p yang memenuhi adalah...
Pembahasan :
a = p
b = p + 2
c = −p + 4

Parabola memotong sumbu-x di dua titik :
D > 0
b2 − 4ac > 0
(p + 2)2 − 4(p)(−p + 4) > 0
p2 + 4p + 4 + 4p2 − 16p > 0
5p2 − 12p + 4 > 0

Pembuat nol :
5p2 − 12p + 4 = 0
(5p − 2)(p − 2) = 0
p = \(\frac{2}{5}\) atau p = 2

Pertidaksamaan bertanda ">", maka :
HP = {p < \(\frac{2}{5}\) atau p > 2}

5. Nilai m yang menyebabkan fungsi kuadrat f(x) = (m + 1)x2 − 2mx + m − 3 definit negatif adalah...
a = m + 1
b = −2m
c = m − 3

Syarat definit negatif :
a < 0
m + 1 < 0
m < −1 .......................(1)

D < 0
b2 − 4ac < 0
(−2m)2 − 4(m + 1)(m − 3) < 0
4m2 − 4(m2 − 2m − 3) < 0
4m2 − 4m2 + 8m + 12 < 0
8m + 12 < 0
8m < −12
2m < −3
m < \(-\frac{3}{2}\) .......................(2)

Irisan (1) dan (2)

6. Fungsi f(x) = 2x2 − ax + 2 akan menjadi fungsi definit positif bila nilai a berada pada interval...
a = 2
b = −a
c = 2

Syarat definit positif :
a > 0
2 > 0 (memenuhi)

D < 0
b2 − 4ac < 0
(−a)2 − 4(2)(2) < 0
a2 − 16 < 0

Pembuat nol :
a2 − 16 = 0
(a + 4)(a − 4) = 0
a = −4 atau a = 4

Pertidaksamaan bertanda "<", maka :
HP = {−4 < a < 4}

7. Diketahui fungsi f(x) = (a + 1)x2 − 2ax + a − 2 definit negatif. Nilai a yang memenuhi adalah...
Pembahasan :
a = a + 1
b = −2a
c = a − 2

Syarat definit negatif :
a < 0
a + 1 < 0
a < −1 ................................(1)

D < 0
b2 − 4ac < 0
(−2a)2 − 4(a + 1)(a − 2) < 0
4a2 − 4(a2 − a  − 2) < 0
4a2 − 4a2 + 4a  + 8 < 0
4a  + 8 < 0
4a < −8
a < −2 ..................................(2)

8. Jika grafik fungsi y = 2x2 + (p - 1)x + 2 menyinggung sumbu X, nilai p yang memenuhi adalah ...
Dari grafik fungsi diatas diperoleh :
a = 2,  b = p - 1  dan  c = 2

Grafik menyinggung sumbu X, maka D = 0.
b2 − 4ac = 0
(p - 1)2 − 4(2)(2) = 0
p2 − 2p + 1 - 16 = 0
p2 − 2p - 15 = 0
(p - 5)(p + 3) = 0
p = 5  atau  p = -3

9. Persamaan kuadrat (k + 2)x2 − (2k − 1)x + k − 1 = 0 mempunyai akar-akar nyata dan sama. Jumlah kedua akar persamaan tersebut adalah...
a = k + 2
b = −(2k − 1) = 1 − 2k
c = k − 1
Akar-akar nyata dan sama ⇒ D = 0
b2 − 4ac = 0
(1 − 2k)2 − 4(k + 2)(k − 1) = 0
1 − 4k + 4k2 − 4(k2 + k − 2) = 0
1 − 4k + 4k2 − 4k2 − 4k + 8 = 0
9 − 8k = 0
k =
9
8
a =  k + 2 =
9
8
 + 2 =
25
8
b = 1 − 2k = 1 − 2(
9
8
) = −
5
4



Misalkan akar-akar PK diatas adalah α dan β, maka jumlah kedua akar-akarnya adalah
α + β = −
b
a

α + β = −
(−
5
4

)
25
8

α + β =
2
5

10. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 5 dan −2 adalah...
α = 5
β = −2

x2 − (α + β)x + αβ = 0
x2 − (5 + (−2))x + 5(−2) = 0
x2 − 3x − 10 = 0